Yüksek boyutlu model gösterilim yöntemleri ve tanım bölgesi geometrisi - Gülpınar, Caner (My University, 2007)
YÜKSEK BOYUTLU MODEL GÖSTERİLİM YÖNTEMLERİ VE TANIM BÖLGESİ GEOMETRİSİ Bu çalışmada, Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi (YBMG) yönteminin temelleri ve değişik çeşitleri verilmiştir. Bunu, YBMG yaklaştırımı üzerine tanım bölgesi geometrisinin etkisi analizi takip etmiştir. Bundan sonra, toplamsallık ölçenleri de hesaplanmıştır. Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi çok değişkenli bir fonksiyonu sabit, tek değişkenli, iki değişkenli vs. fonksiyonların toplamı şeklinde ifade etmektedir. Diğer bir deyişle, Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi, çok değişkenli fonksiyonlar içeren problemler için böl – yönet tekniğini kullanır. Bu çalışmanın amacı, mevcut YBMG çeşitlerini irdelemek ve kullanılan tanım bölgesi içinde ve dışında YBMG’ nin ne çeşit sonuçlar verdiğini tespit etmektir. İşlemler için iki farklı ağırlık fonksiyonu da kullanılmıştır ve bu farklı ağırlıkların kullanılmasından doğan farklar incelenmiştir. Bu çalışmanın ikinci kısmında, değişik YBMG çeşitlerinin makul oldukça uzun yeniden gözden geçirimi verilmiştir. Bu çeşitlerin gelişimi, farklı tipteki problemlerin farklı gereksinimlerinden kaynaklanmıştır. Örneğin, Çarpımsallaştırılmış Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi (ÇYBMG) çarpımsal yapıda fonksiyonlar için geliştirilmişken, Melez Yüksek Boyutlu Model Gösterilimi (MYBMG) toplamsal olduğu kadar çarpımsal yapı içeren fonksiyonlar için geliştirilmiştir. Üçüncü bölümde, düşünülen problemin yapısına bağlı olarak, farklı YBMG çeşitleri detaylı bir şekilde analiz edilmiştir. Bu değişik çeşitlerin etkisi, konu ile ilgili literatürden örnekler kullanarak, gösterilmiştir. Dördüncü bölümde, Tanım bölgesinin ve ağırlık fonksiyonunun etkisi araştırılmıştır. Tanımlı olduğu aralık içerisinde YBMG’ nin etkili sonuçlar verdiği gözlemlenmiştir. Öte yandan, ilgili aralığın dışında sonuçlar bir hayli tutarsızdır. Birim boylu doğrusal yapıdaki üstel fonksiyonun araştırılması, tanım bölgesinin öneminin altını çizerek, benzer sonuçlar vermiştir. Bu sonuçlar, bölümün sonunda verilen grafiklerde kıyaslanmışlardır. Beşinci bölümde, Fourier katsayıları ile YBMG terimleri arasındaki ilişkinin oldukça yeni bir yaklaşımı verilmiştir.

HIGH DIMENSIONAL MODEL REPRESENTATION METHODS AND DOMAIN GEOMETRY In this work, first the Fundamentals of High Dimensional Model Representation (HDMR) method and its various versions are given. This is followed by an analysis of the effect of domain geometry on HDMR approximation. To this end, additivity measurers are also calculated. High Dimensional Model Representation expresses a multivariable function as a sum of a constant, univariate, bivariate functions etc. . In other words, High Dimensional Model Representation uses a divide and conquer technique for problems having multi – variate functions. The aim of this work, is to scrutinize the various existing versions of HDMR and to determine what kind of results HDMR gives inside and outside the domain(s) used. Two different weight functions are also used for calculations and the differences resulting from utilizing these different weights are investigated. In section two of this work, a reasonably lengthy review of various HDMR versions are given. The development of these versions have resulted from different requirements of different types of problems. Factorized High Dimensional Model Representation (FHDMR), for example, was developed for use in the case of functions having multiplicative nature whereas Hybrid High Dimensional Model Representation (HHDMR) was developed for use in the case of functions having additive as well as multiplicative nature. In section three, different versions of HDMR, depending on the structure of the problem considered, are analyzed in detail. The effectiveness of these various versions were shown by using examples from relevant literature. In section four, the effects of domain and weight function are investigated. It is observed that, HDMR gives effective results in the interval it is defined. However, outside the relevant interval, these results are quite inconsistent. Investigation of normalized linear exponential function gives similar results underlining the importance of the domain. These results are also compared in the graphs given at the end of this section. In section five, a rather novel approach is given to the relation between Fourier coefficients and HDMR terms.
Keywords: Gösterilim Yöntemleri; Matematik