Yalınkat fonksiyonların ekstremal özellikleri - Uçar, Faruk (My University, 2004)
YALINKAT FONKSİYONLARIN EKSTREMAL ÖZELLİKLERİ Birim daire U ={z : | z | < 1} da analitik fonksiyonların kümesi H(U) olsun. açılımına sahip yalınkat f Î H(U) fonksiyonlarının sınıfı S ile gösterilir. Genel halde, farklı iki noktayı sabit bırakan analitik ve yalınkat fonksiyonların sınıfı M sınıfı, Montel tarafından tanıtıldı. Montel, S sınıfındaki normalizasyonlar yerine aşağıdaki normalizasyonları önermiştir: (I) (II) (III) Bölüm I de Montel tarafından tanıtılan normalizasyon koşulları verilmiş ve bu koşulları gerçekleyen bazı özel alt sınıfların Koebe bölgeleri hakkında bilgi verilmiştir. Bölüm II de; altında yalınkat fonksiyonların tanım ve özellikleri ile S sınıfının özellikleri kısaca anlatılmıştır. Teorik yaklaşımlar başlığı altında S sınıfını koruyan bazı elemanter varyasyon metodları tanıtılmış ve trajektorilerin ekstremal problemlere uygulaması bir teorem ile örneklenmiştir. Kaynak bilgilerin irdelenmesi başlığı altında, M(a), M(M), ve bazı özel sınıflar için elde edilen sonuçlar özetlenmiştir: İki noktayı sabit bırakan sınırlı ve yalınkat fonksiyonların sınıfı için Koebe bölgesi Reade ve Zlotkiewicz [6] tarafından gösterilmiştir. Fait ve Zlotkiewicz [7] tarafından Montel normalizasyonlu, a mertebeden yıldızıl fonksiyonların sınıfı tanıtılmış ve Ma (a) ile sınıfları arasındaki ilişki verilmiştir. Buna ek olarak, bazı özel alt sınıfların ekstremum noktaları ve konveks zarfı inşa edilmiştir. Libera ve Zlotkiewicz [11-12] tarafından Montel normalizasyonunu sağlayan sınırlı, yalınkat fonksiyonların sınıfı M(a;B) ile S ve M(a) sınıfları arasındaki ilişki verilmiş ve M(a;B) nin bir alt sınıfında varyasyon metodu uygulanmış ve bunun bir uygulaması olarak A1 katsayısının değerler bölgesi için bir teorem verilmiştir. Ayrıca, A2 katsayısı için bir tahmin verilmiştir. Vasiliev [14], M(a;B) sınıfına ait fonksiyonlar için olmak üzere için kesin sınırlar vermiş ve Koebe bölgesini eliptik integraller yardımıyla tanımlamıştır. Sladkowska [15], C -{0}olmak üzere , ve f(0) = b normalizasyonları ile tanımlanan S0b sınıfı için elemanter varyasyon metodları ve bazı özel varyasyon yöntemleri ile ekstremal fonksyonların özelliklerini incelemiş, ekstremal fonksiyonu ve S0b sınıfı için distorsiyon teoremleri vermiştir. Yine Sladkowska [16], 0 < < 1 olmak üzere , , f(0) = b ve , n = 0, 1, ... normalizasyonları sınıfını tanıtmış ve bu sınıfta elemanter varyasyon metodları ve bazı özel varyasyon yöntemleri ile ekstremal fonksyonların özelliklerini incelemiştir. sınıfına ait fonksiyonların Taylor serisi açılımındaki birinci ve ikinci katsayıları için tahminde bulunmuştur. Avcı ve Zlotkiewicz [17] tarafından üç noktayı sabit bırakan fonksiyonların sınıfı T(a) tanıtılmış ve T(a) nın bir alt sınıfında katsayı tahminleri ile sınıfın Koebe bölgesi verilmiştir. Yine Avcı ve Zlotkiewicz [17] tarafından, T(a) sınıfına ait fonksiyonların ilk katsayıları için eşitsizlik verilmiş ve bu eşitsizliklerin mümkün olan en iyi sonuç olduğu gösterilmiştir. Tez çalışmalarının yer aldığı Bölüm III de, M(a,b) sınıfı tanıtılmış ve bu sınıf ile iyi bilinen S ve M(a) sınıfları arasındaki ilişki verilmiştir. Bu ilişkiler yardımıyla, S sınıfındaki katsayı ve distorsiyon teoremleri kullanılarak M(a,b) sınıfına ait fonksiyonların birinci katsayıları için bir tahmin verilmiştir. Ayrıca, F Î M(a,b) olmak üzere, için eşitsizlik verilmiştir. Elemanter varyasyonlardan, alınmayan değer dönüşümü yardımıyla M(a) sınıfının uç ve destek noktaları incelenmiştir.
Keywords: Matematik