Analitik olmayan ve/ veya yüksek salınımlı fonksiyonların ağırlık fonksiyonu altındaki Taylor açılımlarının integral formundaki kalan terimine sendelenimsizlik teoremi uygulanmak suretiyle yaklaştırımlarının yapılması ve buna bağlı olarak nümerik integrasyon yöntemlerinin geliştirilmesi - Gürvit, Ercan (My University, 2020)
ÖZETGerek yapısal olarak gerekse doğa bilimlerine temel teşkil etmesi bakımından yaklaşık değer hesaplamaları, fonksiyon yaklaştırımları ve kuadratürler matematikle uğraşanların kaçınılmaz ilgi alanlarından olagelmistir. Bu tezde bir yaklaştırım yöntemi olarak önemli bir yer tutan ve bir çok yeni yöntemin oluşturulmasına esas olan Taylor açılımı esas alınmış ve Taylor açılımının integral formunda yazılmış kalan terimi üzerinde çalışılarak yeni ve daha verimli yaklaştırımlar geliştirilmeye çalışılmıştır. Tezin birinci bölümünde konuya kısa bir giriş yapılmış, yaklaştırımların sınıflandırılmasına değinilmiş, bunlardan gerek interpolasyon gerekse eğri uydurma yoluyla yapılan yaklaştırımların temel felsefesine değinilmiştir. Tezin ikinci bölümünde yapılan çalısmalara esas teşkil eden Sendelenimsizlik Yaklaştırımı, Sendelenimsizlik Teoreminin Taylor açılımına uygulanması, Taylor açılımının sendelenimsizlik uygulamasına imkan verecek biçimde düzenlenmesi ve son olarak da Çok Değişkenliliği Yükseltilmis Çarpımsal Gösterilim (ÇYÇG) konuları ile ilgili yapılmış çalışmalara değinilerek bu çerçevede gerekli bilgiler verilmistir. Tezin üçüncü bölümünde yeni çalışmalar ve bulgular ele alınarak varılan sonuçlar üzerinde tartısılmıstır. Öncelikle operatör çarpımları ve ayrıştırımlarının sonlu ve sonsuz aralıktaki matris gösterilimlerinde sendelenim incelemeleri ve etkileri araştırılmıştır. Sonrasında oldukça önemli bir sadeleştirme sağlayan üç terimli özyineleme yoluyla matris gösterilimi üzerinde durulmuştur. Sonrasında trigonometrik taban fonksiyonları kullanılarak Taylor açılımının kalan terimine sendelenimsizlikuygulanmak suretiyle çok salınımlı fonksiyonlara yaklaştırım ele alınmıstır. Bunu takiben ÇYÇG’nin Cauchy integral formunda ifade edilmiş Taylor açılımına uygulanması üzerinde çalışılmıs ve yine sendelenimsizlik yaklaştırımının dairesel konturlar yoluyla kontur integrasyonu tarafından desteklenmesi üzerinde çalışılmıstır. Daha sonrasında ise önce kontur integrasyonu ve ÇYÜDÇG yoluyla ve devamında aynı işin Taylor serisi kalan terimi üzerinde nasıl sonuç vereceği sorgulanmıstır. Son olarak ise Başlangıç Değer problemlerinde temel yöntemlerden biri olan Euler metodu ve yüksek mertebeli Taylor metodları ele alınarak sendelenimsizlik yoluyla bunlarda iyileştirme sağlanmıştır. Tezin dördüncü ve son bölümünde ise varılan sonuçlar kısaca ele alınarak özetlenmistir.

ABSTRACTApproximate value calculations, function approximations and quadratures, either because of structural reasons or because they constitute a basis for natural sciences, have always been a center of attention for mathematicians. In this thesis Taylorexpansion which has an important place in the approximation theory and which makes an important starting point for the construction of many new methods, is taken into consideration and some more productive methods are searched by workingon the remainder term expressed in integral form. In the first part of the thesis a short introduction is given, approximations areclassified and the basic philosophies of interpolation and curve fitting are mentioned. In the second part of the thesis Fluctuation Theorem, its application to Taylor expansion, the reorganisation of Taylor expansion to make room for this applicationand finally theorems and applications concerning EMPR are given in detail. In the third part new research and findings are given and discussed in details. It starts with fluctuation studies on the matrix representation of operator multiplicationand decomposition. Then the approximation to highly oscillatory functions by applying trigonometric basis functions to the remainder term of Taylor expansion. This is followed by the application of EMPR to the remainder term of Taylor expansionexpressed as a contour integration and the application of Fluctuationlessness Theorem on contour integration with circular contours. Then using TKEMPR on the remainder term of Taylor expansion expressed in contour integral form is takeninto consideration. Finally Euler and higher order Taylor methods for initial value problems are worked on and beter results are reached through fluctuationlessness approximation applied on them. In the fourth section some corollaries are listed
Keywords: Çok salınımlı fonksiyonlar; ÇYÇG; ÇYÜDÇG; EMPR; Euler method; Euler Method Fluctuationlessness Theorem; Fonksiyon Yaklaştırımı; Fonksiyonların matris gösterilimi; Function approximation; HDMR; Kalan terim; Matematik; Mathematics; Matrix representation of functions; Öğrenim ve öğretim; Remainder term; SendelenimsizlikTeoremi; Spectral methods; spektral açılım; Study and teaching; Taylor Açılımı; Taylor Expansion; TKEMPR; YBMG