Bir fonksiyonun türevinin Lagrange İnterpolasyonu ile hesaplanması - Kartal, Şevket Şadi (My University, 2008)
BİR FONKSİYONUN TÜREVİNİN LAGRANGE İNTERPOLASYONU İLE HESAPLANMASI Bir fonksiyonun türevini tam olarak hesaplamak her zaman mümkün olmaz. Çalışmamızda, herhangi bir fonksiyonun bir aralığında ki değerleri biliniyor iken, bu aralık n tane eş uzunluklu alt aralığa ayrılarak, alt aralık uç noktalarında 1. ve 2. mertebeden yaklaşık türevin hesaplanmasında kullanılan yöntemin, p‘ inci mertebeden yaklaşık türevin hesaplanmasına ilişkin genelleştirilmesi yapılmıştır. Bilindiği üzere bir fonksiyonun (n+1) farklı noktada değerleri biliniyor iken, bu fonksiyonu temsil edebilecek uygun fonksiyonu bulma işleminde lagrange interpolasyon tekniğinden sıklıkla yararlanılmaktadır. Çalışmamızda da fonksiyonun p’ inci mertebeden türevi ile uyuşan polinomu bulma işleminde lagrange interpolasyon polinomu kullanılmıştır. Birinci, ikinci ve üçüncü mertebeden türevlere ilişkin denklem sistemleri elde edilerek matris formunda ifade edilmiş, ardından p’ inci mertebeden türev için genelleştirilmesi yapılmıştır. Yöntemin bilgisayar programları yapılarak, ulaştığımız teorik ifadelerin uygulamada nasıl sonuçlar vereceğini, ne gibi olumlu olumsuz veriler elde edileceğini incelemek mümkün olmuştur. Bunun için 8 tane farklı yapıda fonksiyon tanımlanmış, bu fonksiyonların dördüncü mertebeye kadar olan tüm türev değerleri tablo üzerinde karşılaştırmalı olarak gösterilmiş, ayrıca hesap edilen değerler ile gerçek değerlerin aynı grafik üzerindeki gösterimiyle yapılan çalışmanın detaylı olarak değerlendirilmesi mümkün olmuştur. Aralığın uç noktaları dışındaki noktalarda hata minimum düzeyde gerçekleşmiştir. Yapılan karşılaştırmalar ile türev mertebesi, fonksiyon türü, aralık uzunluğu, bölüntü sayısı gibi etkenlerin her birinin yapılan hata üzerinde etkisi olduğu görülmüştür. Aralık uzunluğunun geniş olmadığı durumlarda dördüncü mertebeye kadar türevler için yöntem iyi sonuçlar vermektedir. Algoritmanın bilgisayar ortamına kolaylıkla aktarılması da yöntemin olumlu yanlarından birini teşkil etmektedir. CALCULATION OF THE DERIVATIVE OF A FUNCTION USING LAGRANGE INTERPOLATION It is not always possible to calculate the derivative of a function exactly. In this work the generalization of a numerical scheme is developed for the p-th derivative of a function using the technique already utilized to approximate the first and second derivatives at the endpoints of the subintervals obtained by dividing the interval [A,B] into n equally spaced parts. As is well known, lagrange interpolation is frequently used in approximating a function if its values are known at (n+1) distinct points. Lagrange interpolation is also used in this work where we attempt to approximate the p-th derivative of a function. Equation systems related to first, second and third order derivatives were obtained and expressed in matrix form and generalization for the p-th order derivative was made. Computer programmes were made to evaluate and to analyse the numerical results and to see the positive and negative aspects of the proposed method. To this end 8 functions each of different structure were chosen and the numerical results up to their fourth derivatives are tabulated for comparison purposes. Approximate results are also compared on graphs with the exact values in order give a detailed account of the method.Results at the interior points show seem to be highly satisfactory portraying errors at minimum level. It was observed that order of derivative, type of function, interval size, number subintervals all seen to effect the relevant errors. In cases where the interval length is not too long the method gives good results up to the fourth order derivatives. Another positive aspect of the proposed method is the ease by which the algorithm can be transferred to computation media.
Keywords: Fonksiyonlar; Lagrange İnterpolasyon Polinomu; Türevler