Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin analitik yöntemleri - Akkaya, Vehbi (My University, 2000)
Bu tezde, ikinci mertebeden lineer kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin analitik metotları incelenmiştir. Genel olarak iki çözüm yöntemi üzerinde durulmuştur. Bunlar ayrık seri çözümleri ve integral dönüşümleridir. Birinci bölümde, öncelikle kısmi diferansiyel denklemler ana hatlarıyla özetlenmiş ve uygulamadaki kullanışlılıklarından bahsedilmiştir. Sonraki bölümlerde kullanılacak çözüm yöntemlerine temel teşkil edecek, Fourier serileri, yarım menzil açılımları, Bessel ve Legendre denklemleri ve Sturm-Liouville problemi hakkında temel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, ayrık seri çözümleri metodu incelenmiş ve bir kısmi diferansiyel denklemi çözerken izlenmesi gereken adımlar tanımlanmıştır. İlave olarak, ayrık seri çözümleri metodu kullanılarak kısmi diferansiyel denklem çözümünde Fourier serilerinin etkili biçimde nasıl kullanılacağı gösterilmiştir. Homojen olmayan bir kısmi diferansiyel denklemin seri çözümü bulunurken dikkat edilmesi gereken adımlar üzerinde durulmuştur. Üçüncü bölümde, Laplace dönüşümü tanıtılmıştır. Bir fonksiyonun Laplace dönüşümünün tanımlı olması için gerekli koşullarla ilgili bazı tanım ve teoremler verilmiştir. Laplace dönüşümünün temel özellikleri verilmiş ve bazı fonksiyonların Laplace dönüşümleri gösterilmiştir. Ters Laplace dönüşümü için tanım ve teoremler verilmiştir. Son olarak ters Laplace dönüşümü için asimptotik açılımlar tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde, Fourier serilerinden Fourier integral dönüşümlerinin elde edilmesi gösterilmiştir. Ters dönüşüm bulmayla ilgili temel teoremler tanımlanmıştır. Ayrıca, çeşitli koşullar altında Fourier integral dönüşümlerinin Fourier sinüs ve kosinüs dönüşümlerine dönüşmesi gösterilmiştir. Ters dönüşümle ilgili uygun asimptotik açılımlar tanıtılmıştır. Beşinci bölümde, verilen ikinci mertebeden genel bir kısmi diferansiyel denklem için genel bir çekirdeğe sahip integral dönüşümü elde edilmeye çalışılmıştır. Uygun başlangıç ve sınır değerleri altında, integral dönüşümünün çekirdeğinin üstel Fourier, Laplace, Fourier sinüs, Fourier kosinüs, Hankel ve Mellin dönüşümlerinde kullanılan çekirdek fonksiyonuna dönüşmesi gösterilmiştir. Son olarak, bu bölümde açıklanan metotların çok değişkenli yüksek mertebeden lineer kısmi diferansiyel denklem için uygulanması gösterilmiştir.
Keywords: Denklemler; Diferensiyel Denklemler, Kısmi; Matematik