AN Lie cebirinin bileşik temsillerine ait çokkatlılıklarının Freudenthal formülü yardımıyla elde edilmesi ve Weyl yörüngesel ayrışımının inşası

Abstract

Klasik grupların ve temsillerinin incelenmesi matematik açısından olduğu gibi fiziğin birçok alanında bulduğu uygulamalar açısından da oldukça ilgi çekicidir. 20.yy.'ın ikinci yarısından beri Lie Cebir temsillerinin özellikle teorik fizik alanında bulduğu uygulamalar Lie Cebirlerinin daha derin incelenmesine neden olmuştur. Temsil Teorisinde önemli bir yer tutan çokkatlılık kavramı Temel Ağırlık tanımının Lie Cebir kuramına girmesinden sonra daha bir önem ve anlam kazanmıştır. Temsil Teorisinde, Standart Cartan-Weyl Bazı kullanıldığında oldukça karmaşık bir yapı arz eden çokkatlılıkların hesap tekniği, temel ağırlıkların kullanılmasıyla oldukça basit bir işlem zinciri haline gelmiştir. Lie Cebir temsilleri, içerdiği bütün baskın ağırlıkların yani Esas Baskın Ağırlık ve Alt-baskın Ağırlıkların Weyl Yörüngelerinin lineer bileşimi olarak yazılabilir. Buradaki en önemli unsur yörüngesel ayrışımdaki çokkatlılıkların bulunmasıdır. Çalışmamızda bu çokkatlılıklar temel ağırlıklar yardımıyla Freudenthal Formülü kullanılarak hesaplanmıştır. Bu tezde, sadece Klasik Cebirlerin Cebir zincirlerine ait çeşitli boyutlardaki temsiller bu yolla inşa edilmiştir. Çalışmamıza, ihtiyaç duyulan genel bilgilerin verilmesiyle başlanmıştır. Yalnızca Cebirlerine ait temsillerin inşasına yer verildiğinden bu cebirlerin tanımı önce Standart Cartan-Weyl Bazı kullanılarak yapılmıştır. Ortogonal olan bu bazı yardımıyla kök sistemleri oluşturulmuştur. Kök sistemleri ayrıca Dynkin Diyagramlarından faydalanılarak temel baskın ağırlıklar cinsinden de ifade edilmiştir. Bu diyagramlar kullanıldığında basit köklerin skaler çarpımından oluşan Cartan Matrisi de kolaylıkla ifade edilebilmektedir. Cebirleri ayrıca temel ağırlıklar kullanılarak da tanımlanmıştır. Bu ağırlıklar ortogonal olmayan baz sistemini oluşturmaktadır. Cebirin kökleri ile temel baskın ağırlıkları, temel ağırlıklar cinsinden bu baz kullanılarak ifade edilmiştir. Temsillerin yörüngesel ayrışımları yapılırken en önemli unsurlardan biri olan temsilin bütün baskın ağırlıklarının bulunuşu, baskın ağırlıklar temel ağırlıklar cinsinden ifade edildiğinde oldukça kolay bir hale gelmektedir. Temel ağırlıkları kullanmanın sağladığı diğer bir kolaylık ise Weyl Yörüngelerinin boyutularının yörüngeleri oluşturmaya ihtiyaç duyulmadan bir formülizasyon ile hesaplanarak bulunabilmesini mümkün kılmasıdır. Çalışmamızda temsillerin inşası yapılırken de bu tanımlardan yararlanıldığından III.Bölümde Cebir zincirine ait çeşitli cebirler temel ağırlıklar cinsinden elde edilmiştir. IV.Bölümde temel ağırlıkları kullanmanın sağladığı kolaylıklar açıkça görülmektedir. Bu bölümde yörüngesel ayrışım ve Freudenthal Formülü yardımıyla çokkatlılıkların bulunabilmesine yer verilmiştir. Burada çalışmamızın amacını da oluşturan yörüngesel ayrışımın inşa edilmesi ve bu ayrışımdaki çokkatlılıkların bulunması temel ağırlıklar kullanılarak yapılmıştır. Temel ağırlıkları kullanmanın sağladığı kolaylıklar bu bölümün sonundaki uygulamalar incelendiğinde açıkça görülmektedir. Bu uygulamalarda çeşitli cebirlere ait farklı boyutlu temsillerin inşaları temel ağırlıklar kullanılarak yapılmıştır. Yörüngesel ayrışımı yapılan bütün temsiller kaynaklardaki örneklerden esinlenerek yapılmış özgün uygulamalardır. Investigation of Classical Algebras and their representations is quite interesting in physics applications as well as in mathematics. Applications of representations of Lie Algebra, which is found especially in theoretical physics, have caused deeper investigations of Lie Algebras since the second half of the 20th century. Multiplicity concept, holding a highly important place in representation theory, has had more meaning and importance after the definition of Fundamental Weight introduced into Lie Algebra Theory. In the representation theory, calculating tecnique of multiplicities which constitutes quite a complex structure when The Standart Cartan-Weyl Base is used became a very simple calculation chain by using fundamental weights. The representations of Lie Algebra can be written as the lineer composition of the Weyl Orbits of Principal Dominant Weight and Sub-dominant Weights. The most important point here is to find multiplicities in the orbital decomposition. In our study, multiplicities have been calculated with the aid of fundamental weights by using Freudenthal Formula. In this thesis the differently dimensioned representations which belong to Algebra of Classical Algebras only are constructed in this way. Our study is starts by giving required. Firstly Algebra is defined by Standart Cartan-Weyl Base for only the construction of the representations of Lie Algebra are placed. Root systems are constituted by this orthogonal base. Root systems are also expressed in terms of fundamental dominant weights by using Dynkin Diagrams. When these diagrams are used, Cartan Matrix which is produced by the scaler product of simple roots can be expressed easily too. Algebra is also defined in terms of fundamental weights. These weights constitute non-orthogonal base system. Roots and fundamental dominant weights of Lie Algebra are written in terms of fundamental weights by using this base. Finding all dominant weights of the representation in the orbital decomposition become easier by using fundamental weights. Another easiness of using fundamental weights, is to make calculation of Weyl Orbits' dimensions possible without constituting all Weyl conjugates. In the third section, various algebras that belong to Algebra are constituted because of exploting from these definations while representations are constructed in our study. In the fourth section easiness of using fundamental weights can be seen clearly. In this section orbital decomposition and finding multiplicities by using Freudenthal Formula are placed. Constructing orbital and finding multiplicities in this decomposition which is the propose of our study are done by using fundamental weights. The easiness of using these weights are seen clearly when the applications at the end of the section are investigated. In these applications, construction of various dimension at representations of various algebras are done by using fundamental weights. All representations of which their orbital decomposition are done are original applications which are inspired from examples in the references.