Some special dual vector fields

Abstract

R. Finn tarafından kılcal yüzeylerin n-boyutlu Öklid uzayındakı $\Omega$ tanım bölgesinde, kılcal yüzey ve tanım bölgesinin seçimi ile tamamen belirli olan bir vektör alanı tanımlanmıştır. Bu vektör alanının önemi kılcal yüzeylerin sınır değer ve varlık problemleri için elde edilen gerek ve yeter şartları tek başına karekterize etmesidir. Daha önceki bir çalışmada sözü edilen vektör alanı, $\Omega$ tanım bölgesinin $\Sigma = \partial\Omega$ sınır yüzeyinin elemanları cinsinden ifade edildi ve bazı özellikleri incelendi.Bu çalışmada ise $\Sigma$ yüzeyinin teğetsel vektör alanının duali elde edilmiş, daha sonra $\vartheta$ açısının $\Sigma$ boyunca sabit olması halinde, sözkonusu dual alanın önce Killing, sonra da Harmonik vektör alan olması şartları araştırılmış ve bulunan gerek ve yeter şartlar birer teorem olarak verilmiştir. $\Sigma$ yüzeyinin Minimal yüzey olarak seçilmesi halinde ise elde edilen gerek ve yeter şartların sade bir hal aldığı görülmüş ve bunlarda birer teorem ile ifade edilmiştir.

A vector field defined by R. Finn in n-dimensional Euclidean space $(n\geq 2)$ over domain $\Omega$ of a capillary surface S, is expressed by means of the elements of the surface $\Sigma$ which is the boundary of $\Omega$. The dual of the vector field of surface $\Sigma$ is obtained. Then, the case of angle $\theta$ being constant on all $\Sigma$ is considered and the conditions of the dual vector field to be Killing and Harmonie vector fields are studied and necessary and sufficient conditions are given as theorems . It is shown that the necessary and sufficient conditions obtained here are very suitable when the surface $\Sigma$ is selected as a minimal surface.