Publication: Lineer modellerde iç-içe (nested) varyans analizi çözüm yöntemi ve bir uygulama
Abstract
Nitel ve nicel değişkenlerin söz konusu olduğu lineer modeller uzun yıllar çeşitli çalışmalarla ele alınmış olup, günümüzde de bu çalışmalar yoğun bir biçimde devam etmekte ve çeşitli yorumlar, sonuçlar elde edilmektedir. Özellikle nitel değişkenlerin söz konusu olduğu lineer modeller doğada karşımıza çok fazla çıkmaktadır. Nitel değişkenli lineer modellerin incelenmesinde (analizinde) kullanılan yönteme kısaca "Varyans Analizi" denir. V.A. notasyonu ile gösterilir. Bu yöntem çok farklı durumların içerildiği bir yöntemdir. Klasik anlamda 1-faktörlü sınıflandırmadan n-faktörlü (4-faktörden sonra pek üzerinde çalışılmamış) sınıflandırmaya genişletebileceğimiz durumlar olduğu gibi faktörlerin çapraz, iç-içe çapraz +iç-içe olduğu durumlar ve verinin dengeli veri olup olmaması durumları ve nihayet faktörlerin etkileşimli (çapraz modellerde) olup olmamaları durumlarında varyans analizi tekniğini başarı ile uygulayabilmekteyiz. Daha sonraları varyans analizi yönteminde matris cebrinin de kullanılması çağdaş bir yaklaşım olarak değerlendirildi. Ayrıca matris cebrinin kullanılması V.A. çözümlerinde büyük kolaylıklar getirmesi bakımından da önemlidir. Önemli sorun nitel değişkenli modellerde bir tek çözümünün olmayışıdır. Çünkü Y = $X\beta^{\exists}+\epsilon$ şeklinde gösterilen lineer modelden elde edilen $(X^{\prime}X)\beta^{\exists}=X^{\prime}Y$ normal denklemlerinde $X^{\prime}Y$ matrisinin rankı tam olmayıp klasik anlamda tersi yoktur. Önceleri çeşitli kısıtlamalarla ya da uygun koşullar koymak sureti ile çözüm getirilebilmiş olmakla birlikte son zamanlarda rankı tam olmayan matrislerin tersini bulmak için genelleştirilmiş ters matris kavramı ortaya atılmış ve "genelleştirilmiş ters matrislerle çözüm yöntemi" kullanılarak çözüm elde edilebilmiştir. Bu yöntemle biraz önce sözü edilen kısıtlamalardan ve benzeri koşullardan kurtulmak mümkün olmuştur.Bu çalışmadan amaç şu ana kadar söylediklerimizi baz alarak, iç-içe (nested) varyans analizi modelini kurmak ve uygulamada ne gibi durumlarla karşılaşılabileceğini irdelemektir.
Linear models dealing with qualitative and quantitative variables have long been analyzed and nowadays some work is still being done. In nature, we encounter linear models with quantitative variables quite frequently. This is why we call this method used in analyzing quantitative models "Variance Analysis" in short We say "in short" because variance analysis method deals with many different situations. We apply variance analysis technique with success in situations where 1-factorial classification is expanded into n-factorial (not much work done beyond 4-factorial) as well as situations. Where factors are crossed, nested, crossed-nested and data are in balance and finally factors are in interaction. It is also very important that it brings in simplicity as we can also use matrix algebra in variance analysis method. An important problem in quantitative variable methods is that there is no single solution as in normal equations. $(X^{\prime}X)\beta^{\exists}=X^{\prime}Y$ derived by Y= $X\beta^{\exists}+\epsilon$ $X^{\prime}Y$ matrix has not full rank and inverse. It was only possible to find the inverse of a matrix without a full rank by some restrictions or by imposing appropiate conditions by means of generalized inverse matrix method. This method doesn't involve such restrictions and conditions. The purpose of my study is to analyze the variance analysis method with the help of earlier studies and to apply it to my data.
Linear models dealing with qualitative and quantitative variables have long been analyzed and nowadays some work is still being done. In nature, we encounter linear models with quantitative variables quite frequently. This is why we call this method used in analyzing quantitative models "Variance Analysis" in short We say "in short" because variance analysis method deals with many different situations. We apply variance analysis technique with success in situations where 1-factorial classification is expanded into n-factorial (not much work done beyond 4-factorial) as well as situations. Where factors are crossed, nested, crossed-nested and data are in balance and finally factors are in interaction. It is also very important that it brings in simplicity as we can also use matrix algebra in variance analysis method. An important problem in quantitative variable methods is that there is no single solution as in normal equations. $(X^{\prime}X)\beta^{\exists}=X^{\prime}Y$ derived by Y= $X\beta^{\exists}+\epsilon$ $X^{\prime}Y$ matrix has not full rank and inverse. It was only possible to find the inverse of a matrix without a full rank by some restrictions or by imposing appropiate conditions by means of generalized inverse matrix method. This method doesn't involve such restrictions and conditions. The purpose of my study is to analyze the variance analysis method with the help of earlier studies and to apply it to my data.