Publication: An lie cebirinin kök sistemi ve temsillerinin temel ağırlıklar cinsinden elde edilmesi
Abstract
LİE CEBİRİ'NİN KÖK SİSTEMİ ve TEMSİLLERİNİN TEMEL AĞIRLIKLAR CİNSİNDEN ELDE EDİLMESİ Çalışmamızda Lie Cebiri ele alınarak bu cebire ait Elementer Temsilin ve Weyl Yörüngelerinin yapıları ortogonal baz yerine ortogonal olmayan baz cinsinden ifade edilmiştir. Cebirinin tanımı klasik literatürde ortogonal bilinen bazı kullanılarak verilmiştir. Çalışmamızın esasını teşkil eden Temel Ağırlık tanımı ve bunun Lie Cebirinin Weyl Yörüngelerine uygulanması ele alınmıştır. Zira diğer Lie Cebirlerine de aynı yöntem uygulanabilir. Cebirin literatürde bilinen klasik tanımından sonra Cebirinin Temel Ağırlıkları tanımına yer verilmiştir. Bu tanım ve tanımın getirdiği kolaylıklar çalışmamızın özellikle uygulamalar kısmında çok açık bir şekilde görülebilmektedir. Temel ağırlıklar ortogonal olmayan baz sistemini oluşturmaktadır ve Cebirinin bu baz sistemi kullanılarak klasik literatürde bilinen tanımından başka bir tanımı daha verilmiştir. Bu baz yardımıyla Cebir zincirine ait farklı boyutlardaki çeşitli Weyl Yörüngeleri tek bir permütasyonel forma indirgenmiştir. Dolayısıyla sonsuz zinciri için temel ağırlıklar kullanıldığı zaman bir baskın ağırlık ile tüm Weyl Eşleniklerinin ortak bir form alacağı bir kez daha gösterilmiştir. Ayrıca temel ağırlıkları kullanmadan bir Weyl Yörüngesinin boyutu yörüngedeki bütün elemanlar tek tek bulunduktan sonra bu elemanların sayısının tespit edilmesi suretiyle bulunabilirken temel ağırlıklar yardımıyla boyut hesaplama formülü kullanılarak çok daha kolay bir şekilde bulunmuştur. Çalışmamızda ayrıca bir Weyl Yörüngesinin Permütasyon Baskın Ağırlıkının tanımı ile birlikte Cebirinin farklı boyutlardaki çeşitli Weyl Yörüngeleri için permütasyon baskın ağırlıklarının açık olarak bulunmasına imkan veren karakteristik denklemine yer verilmiştir. Bir Weyl Yörüngesi içindeki permütasyon baskın ağırlıkları biliyorsak, diğer tüm ağırlıklar bunların temel ağırlıkları üzerinden permütasyonlarıdır. Dolayısıyla bir Weyl Yörüngesinin tüm ağırlıklarının ortak bir formda yazılması öncelikle bu yörüngeye ait ağırlıkları belirleme sorununu ortadan kaldırmıştır. Bu noktada boyutu yüzlere hatta binlere varan Weyl Yörüngelerinin ağırlıklarının tek bir ortak formda gösterilmesinin getireceği kolaylıklar çok açıktır. Bu işlemleri yaparken iki tane bilgisayar kullanılmaktadır. Bunlardan birincisi Weyl Yörüngelerinin inşa edilmesini sağlayan yani yörüngedeki her bir ağırlığın katsayılarını bulan bilgisayar Weyl Yörüngesine ait permütasyon baskın ağırlıkların elde edilmesini sağlayan bilgisayar programıdır. Bunlar sırasıyla EK A ve EK B'de verilmiştir. Örnekler kısmında ise , , , , ve Cebirlerinin kök sistemlerinin ve ayrıca örneklerden esinlendiğimiz, çalışmamızın özgün kısmını oluşturan Cebir zincirine ait çeşitli boyutlardaki farklı Weyl Yörüngelerinin ve Temsilin temel ağırlıklar cinsinden tek bir permütasyonel formda yazılabildiğini gösteren uygulamalara yer verilmiştir. EK C'de ise Cebirine ait Weyl Yörüngesinin tüm elemanlarının temel ağırlıklar cinsinden ifadeleri liste halinde verilmiştir. Haziran, 2004 Gül Nihal Şahin
THE ROOT SYSTEM of LIE ALGEBRA and FINDING ITS REPRESENTATIONS in TERMS of FUNDAMENTAL WEIGHTS Lie Algebra is defined in this study in such a way that the forms of its Elementer Representation and Weyl Orbits are defined by non-orthogonal base instead of orthogonal base. The definition of Algebra is given by using base which is known as orthogonal in classical mathematical literature. Definition of fundamental weight which is our essential study and that application of this to Weyl Orbits which belongs to Lie Algebra is handled. Meanwhile, the same method can be applied in the other Lie Algebras. After the classical definition of Algebra which is known in the classical literature, the definition of Fundamental Weight belong to Algebra is placed. This definition and the convenience of it are clearly shown in the application section of our study. The fundamental weight constitues the base system, which is non-orthogonal and another definition of Algebra is given except that the classical known definition is made by using this base system. Various differently dimensioned Weyl Orbits belonged to Algebra chain are reduced to only one permutational form by using this base. Consequently when the fundamental weight is used for infinitive chain its shown again that a dominant weight and all of its Weyl congujates take a common form. Moreover, while the dimension of a Weyl Orbit is found by finding every member in the orbit and total numbers of them without use of the fundamental weight, it can be found more easily with the dimension calculation formula by use of the fundamental weight. Furthermore, both the definition of Permutation Dominant Weight and a characteristic equation, which makes permutation dominant weights for various differently dimensioned Weyl Orbits possible to be clearly found, are indicated in the study. If the permutation dominant weights in Weyl Orbit are known, all other weights are permutations of them over the fundamental weight. Consequently, being shown of all weigths of Weyl Orbit in the shared form eliminates the problem of determinating of weights belonged to this orbit. Thus, easiness that follows from indicating weights of Weyl Orbits, reaching hundreds even thousands, in the shared form is very obvious. Two computer programmes are used when making this process. One provides to construct Weyl Orbits, in other words determining the coefficients of every weight in the orbit, and the other one finds the permutation dominant weights belonged to Weyl Orbit. These are shown in EK A and EK B, respectively. In the application section, there are many practices that are composed of the root systems of , , , , and Algebra and the original part of this study that consists of variously dimensioned Weyl Orbits and their representation, which can be indicated in only one permutational form as a fundamental weight type, belonged to Algebra chain. The expressions of all members of Weyl Orbit belonged to Algebra as a fundamental weight type are listed in EK C. June, 2004 Gül Nihal Şahin
THE ROOT SYSTEM of LIE ALGEBRA and FINDING ITS REPRESENTATIONS in TERMS of FUNDAMENTAL WEIGHTS Lie Algebra is defined in this study in such a way that the forms of its Elementer Representation and Weyl Orbits are defined by non-orthogonal base instead of orthogonal base. The definition of Algebra is given by using base which is known as orthogonal in classical mathematical literature. Definition of fundamental weight which is our essential study and that application of this to Weyl Orbits which belongs to Lie Algebra is handled. Meanwhile, the same method can be applied in the other Lie Algebras. After the classical definition of Algebra which is known in the classical literature, the definition of Fundamental Weight belong to Algebra is placed. This definition and the convenience of it are clearly shown in the application section of our study. The fundamental weight constitues the base system, which is non-orthogonal and another definition of Algebra is given except that the classical known definition is made by using this base system. Various differently dimensioned Weyl Orbits belonged to Algebra chain are reduced to only one permutational form by using this base. Consequently when the fundamental weight is used for infinitive chain its shown again that a dominant weight and all of its Weyl congujates take a common form. Moreover, while the dimension of a Weyl Orbit is found by finding every member in the orbit and total numbers of them without use of the fundamental weight, it can be found more easily with the dimension calculation formula by use of the fundamental weight. Furthermore, both the definition of Permutation Dominant Weight and a characteristic equation, which makes permutation dominant weights for various differently dimensioned Weyl Orbits possible to be clearly found, are indicated in the study. If the permutation dominant weights in Weyl Orbit are known, all other weights are permutations of them over the fundamental weight. Consequently, being shown of all weigths of Weyl Orbit in the shared form eliminates the problem of determinating of weights belonged to this orbit. Thus, easiness that follows from indicating weights of Weyl Orbits, reaching hundreds even thousands, in the shared form is very obvious. Two computer programmes are used when making this process. One provides to construct Weyl Orbits, in other words determining the coefficients of every weight in the orbit, and the other one finds the permutation dominant weights belonged to Weyl Orbit. These are shown in EK A and EK B, respectively. In the application section, there are many practices that are composed of the root systems of , , , , and Algebra and the original part of this study that consists of variously dimensioned Weyl Orbits and their representation, which can be indicated in only one permutational form as a fundamental weight type, belonged to Algebra chain. The expressions of all members of Weyl Orbit belonged to Algebra as a fundamental weight type are listed in EK C. June, 2004 Gül Nihal Şahin