Publication: İki boyutlu magneto-hidrodinamik denklemlerinin üçgensel örgülerde dengesizlik dağılımı metoduyla nümerik çözümleri
Abstract
This thesis presents the fluctuation splitting schemes for the solutions of scalar linear and nonlinear equations, Euler's equations, and Magneto - Hydrodynamics (MHD) equations on the structured triangular meshes. The fluctuation splitting scheme is first described for the scalar equations and then a similar procedure is followed to linearize Euler equations and to solve them using different wave models. In addition, the new wave model (called model MHD-A) for the MHD equations suitible for the fluctuation splitting schemes was introduced, [14], [42], [43], [44], [45]. In this model, the primitive form of the MHD equations is utilized rather than the conservative form in order to derive an efficient wave model.It is found that the eigen-system of the planar MHD wave model used in this work include a pair of fast waves, a pair of slow waves, an entropy wave and a new magnetic monopole wave.The requirement of the magnetic monopole wave for the solutions of MHD equations in two dimensions was first pointed out by Aslan [1] in his thesis. Although no numerical results were presented, Aslan observed that a source related to the divergence of the magnetic field was needed in momentum and Maxwell's equations in order the conservative form to be consistent with the primitive form of the MHD equations. Therefore, by utilizing these terms (which should be identically zero) in the equations the problems related to (.B would be removed. This idea was then applied for the MHD equations by Gombosi [3] and Powell [2], [4] and it was shown that these terms would eliminate nonphysical magnetic monopoles succesfully. Aslan [5] then utilized this wave and source in a Riemann solver in order to simulate Tokamak plasmas, high beta ((=kinetic pressure/ magnetic pressure) explosions, and high speed flows [6] by means of a finite volume technique. In this work, the MHD-A wave model was introduced along the gravitational effects in order to investigate the compressible and incompressible fluid flow (in a more realistic manner) by means of a new numerical method. With the new model and developed numerical method, two dimensional compressible and incompressible fluid flow test problems (shock reflection, Kelvin-Helmholtz Instability, gravitation) were solved and results that are similar to those found by other investigators were obtained. These results show that improved MHD-A model can be safely used in order to investigate the compressible and incompressible fluid flow.
Bu çalışmada lineer ve lineer olmayan skaler konveksiyon denklemlerinin, Euler denklemlerinin ve Magneto-hidrodinamik (MHD) denklemlerinin düzenli üçgensel örgülerde dengesizlik dağılımı metodu ile çözümleri sunulmaktadır. Dengesizlik dağılımı metodu önce skaler denklemler için tanımlanmış ve Euler denklemleri lineerize edilerek, benzeri nümerik prosedür izlenmiş ve farklı dalga modelleri kullanılarak, bu denklemler çözülmüştür. Bu çalışmada, MHD denklemleri için de benzeri metotlar kullanılarak, dengesizlik dağılımı metodunun kullanılmasına olanak sağlayan, yeni bir dalga modeli: MHD-A sunulmaktadır, [14], [42], [43], [44], [45]. Bu modelde, etkin bir dalga modeli oluşturabilmek için denklemlerin korunumlu formundan ziyade ilkel halleri ele alınmıştır. Araştırmalarda ele alınan düzlemsel (2 boyutlu) MHD dalga modelinin öz-sisteminde birer çift hızlı ve yavaş magneto-akustik dalga, bir entropi dalgası ve ilk defa Aslan [1] tarafından ortaya atılmış ve tamamen nümerik olan bir manyetik monopol dalgası da kullanılmıştır.İki boyutlu MHD problemlerinin çözümlerinde nümerik sonuçlar gösterilmeksizin, Aslan MHD denklemlerinin korunumlu formunun ilkel forma uyumlu olabilmesi için, momentum ve Maxwell denklemlerinde manyetik alanın diverjansıyla orantılı olan bir kaynak teriminin olması gerekliliğini belirtmişti. Böylelikle, aslında fiziksel olarak sıfır olması gereken ve genelde sıfır alınan bu terimleri sadece nümerik amaçlarla denklemlerde kullanmakla, diverjans sorunu da (nümerik olarak ((.B' nin sıfırdan farklı olması) ortadan kalkabilecekti. Bu fikir daha sonra Gombosi [3] ve Powell [2], [4] tarafından başarıyla kullanıldı ve bu terimlerin fiziksel olmayan manyetik monopolleri başarıyla yok ettiği bulundu. Bunu takiben Aslan [5] Tokamak plazmaları, yüksek beta ((=kinetik basınç / manyetik basınç) patlamaları ve yüksek hızlı akışkanları incelemek için manyetik monopol dalgası (ve dolayısıyla da diverjans kaynak terimlerini) Riemann türü, sonlu hacim tekniği adı verilen bir metotta başarıyla kullandı, [6]. Bu çalışmada sıkıştırılabilir ve sıkıştırılamaz akışkanların akışlarını (daha gerçekçi olarak) birlikte inceleyebilmek amacı ile yerçekimi etkilerini de içeren, yeni bir nümerik metot olan MHD-A dalga modeli sunulmaktadır. Bu yeni model ve nümerik metotla, sıkıştırılabilir ve sıkıştırılamaz akışkanların akışları türündeki test problemlerinin (Şok yansıması, Kelvin-Helmholtz instabilitesi, gravitasyon), 2 boyutlu nümerik çözümleri elde edilmiş ve diğer araştırmacılar tarafından başka metotlarla bulunan sonuçlara çok yakın sonuçlar elde edilmiştir. Bu sonuçlar göstermektedir ki, geliştirilmiş MHD-A modeli hem sıkıştırılabilir hem de sıkıştırılamaz akışkanların akışlarını incelemede güvenlikle kullanılabilmektedir.
Bu çalışmada lineer ve lineer olmayan skaler konveksiyon denklemlerinin, Euler denklemlerinin ve Magneto-hidrodinamik (MHD) denklemlerinin düzenli üçgensel örgülerde dengesizlik dağılımı metodu ile çözümleri sunulmaktadır. Dengesizlik dağılımı metodu önce skaler denklemler için tanımlanmış ve Euler denklemleri lineerize edilerek, benzeri nümerik prosedür izlenmiş ve farklı dalga modelleri kullanılarak, bu denklemler çözülmüştür. Bu çalışmada, MHD denklemleri için de benzeri metotlar kullanılarak, dengesizlik dağılımı metodunun kullanılmasına olanak sağlayan, yeni bir dalga modeli: MHD-A sunulmaktadır, [14], [42], [43], [44], [45]. Bu modelde, etkin bir dalga modeli oluşturabilmek için denklemlerin korunumlu formundan ziyade ilkel halleri ele alınmıştır. Araştırmalarda ele alınan düzlemsel (2 boyutlu) MHD dalga modelinin öz-sisteminde birer çift hızlı ve yavaş magneto-akustik dalga, bir entropi dalgası ve ilk defa Aslan [1] tarafından ortaya atılmış ve tamamen nümerik olan bir manyetik monopol dalgası da kullanılmıştır.İki boyutlu MHD problemlerinin çözümlerinde nümerik sonuçlar gösterilmeksizin, Aslan MHD denklemlerinin korunumlu formunun ilkel forma uyumlu olabilmesi için, momentum ve Maxwell denklemlerinde manyetik alanın diverjansıyla orantılı olan bir kaynak teriminin olması gerekliliğini belirtmişti. Böylelikle, aslında fiziksel olarak sıfır olması gereken ve genelde sıfır alınan bu terimleri sadece nümerik amaçlarla denklemlerde kullanmakla, diverjans sorunu da (nümerik olarak ((.B' nin sıfırdan farklı olması) ortadan kalkabilecekti. Bu fikir daha sonra Gombosi [3] ve Powell [2], [4] tarafından başarıyla kullanıldı ve bu terimlerin fiziksel olmayan manyetik monopolleri başarıyla yok ettiği bulundu. Bunu takiben Aslan [5] Tokamak plazmaları, yüksek beta ((=kinetik basınç / manyetik basınç) patlamaları ve yüksek hızlı akışkanları incelemek için manyetik monopol dalgası (ve dolayısıyla da diverjans kaynak terimlerini) Riemann türü, sonlu hacim tekniği adı verilen bir metotta başarıyla kullandı, [6]. Bu çalışmada sıkıştırılabilir ve sıkıştırılamaz akışkanların akışlarını (daha gerçekçi olarak) birlikte inceleyebilmek amacı ile yerçekimi etkilerini de içeren, yeni bir nümerik metot olan MHD-A dalga modeli sunulmaktadır. Bu yeni model ve nümerik metotla, sıkıştırılabilir ve sıkıştırılamaz akışkanların akışları türündeki test problemlerinin (Şok yansıması, Kelvin-Helmholtz instabilitesi, gravitasyon), 2 boyutlu nümerik çözümleri elde edilmiş ve diğer araştırmacılar tarafından başka metotlarla bulunan sonuçlara çok yakın sonuçlar elde edilmiştir. Bu sonuçlar göstermektedir ki, geliştirilmiş MHD-A modeli hem sıkıştırılabilir hem de sıkıştırılamaz akışkanların akışlarını incelemede güvenlikle kullanılabilmektedir.