Homojen uzaylarda lineer olmayan Schorödinger denklemleri

Abstract

Bu çalışmanın amacı, homojen uzayda basit bir Lie cebrinden değer alan bir soliton bağlantısı ve (Ablowitz, Kaup, Newell ve Segur) AKNS formalizmi kullanılarak birlesik lineer olmayan Schrödinger denklemlerini elde etmektir. Bu formalizmde birleşik lineer olmayan Schrödinger denklemlerini elde etmek için bir yol ise sl(2, R) Lie cebrinden değer alan bir soliton bağlantısı ile başlamaktır. Literatürde değişik homojen uzaylardaki birleşik lineer olmayan Schrödinger denklemleri, basit Lie cebirleri, Kac-Moody cebirleri, Lie supercebirleri vs. kullanılarak elde edilmiştir. Bu formalizm yeterince soyut olduğundan, mümkün olduğu kadar örnek vermeye çalışmaktayız. Göze çarpan önemli uygulamalardan birkaçı şöyledir: (a) Öncü bir örnek, sl(2, R) cebrinden değer alan bir soliton bağlantısı kullanarak, birleşik lineer olmayan Schrödinger denklemlerinin elde edilişidir. (b) Osp(1, 2) süper cebrinden değer alan bir super soliton bağlantısı kullanarak, birleşik süper lineer olmayan Schrödinger denklemlerini elde edilişidir. (c) Son olarak homojen bir uzayda, basit bir Lie cebrinden değer alan bir soliton bağlantısı kullanarak, birleşik lineer olmayan Schrödinger denklemlerinin elde edilişidir. Birleşik lineer olmayan Schrödinger denklemleri soliton çözümleri olan bir lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler çeşididir. Soliton çözümleri olan denklemler fizikte önemli yer tutarlar. Solitonlar, hızları ve enerjileri sabit olan parçacıklar olarak algılanabilirler. Birleşik lineer olmayan Scrödinger denklemleri su dalgalarının tasviri ve lineer olmayan optik dalı başta olmak üzere fiziğin pek çok dalında uygulama alanı bulmaktadır. The purpose of this work is to obtain coupled nonlinear Schrödinger equations by using (Ablowitz, Kaup, Newell and Segur) AKNS scheme and soliton connections, in homogeneous spaces, taking values in a simple Lie algebra. In this scheme in order to obtain coupled nonlinear Schrödinger equations one way is to start by a soliton connection which has values in sl(2, R) algebra. Coupled nonlinear Schrödinger equations on various homogenous spaces have been obtained in literature by assuming a soliton connection taking values in a simple Lie algebra, in Kac-Moody algebra, in Lie superalgebra and etc. Because this scheme is quiet, we have tried to put in as many examples as possible. Some of the highlighted applications are as follows: (a) We will obtain a coupled nonlinear Schrödinger equation by using a soliton connection taking values in sl(2, R) algebra. (b) We will try to obtain a coupled super nonlinear Schrödinger equation by using a soliton connection taking values in osp(1, 2) super algebra. (c) Finally, we will obtain a coupled nonlinear Schrödinger equation by using a soliton connection taking values in a simple Lie algebra. Coupled non linear Schrödinger equations are types of nonlinear partial differential equations which have soliton solutions. The equations which have soliton solutions are important in physics. Solitons can be considered as particles which have constant speeds and energies. Coupled nonlinear Schrödinger equations have found applications in various branchies of physics, namely in nonlinear optics and description of water waves.