Genelleştirilmiş halkalarda radikal

Abstract

Tezde halkalarda radikal teorisinin kuruluşu, gerekliliği ve birimli değişmeli halkalardan başlamak üzere genelleştirilmesi incelenmiştir. Tez beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde halkaların genel yapısını ve özelliklerini belirten temel kavramlar verilmiştir. Radikal kavramının tanıtılması ve özelliklerinin incelenmesi ikinci bölümle birlikte başlamaktadır. İkinci bölümde halkalarda radikal kavramı belirli halka tiplerinden bağımsız olarak incelenmiştir. Böylelikle sonraki bölümlerde, halkalar farklı özelliklerde olsalar dahi radikallerinin incelenmesinde takip edilmesi gereken temel yöntem belirginleştirilmiştir. Üçüncü bölüm birimli ve değişmeli halkalarda Jacobson radikali, nilradikal, asal radikal, J-radikal kavramlarının tanımlanmasına ve özelliklerinin incelenmesine ayrılmıştır. Bunu takip eden dördüncü bölümde ise halkanın birimli ve değişmeli olmadığı durumlarda aynı radikallerin nasıl tanımlanabileceği incelenmiştir. Beşinci bölüm tezin son bölümüdür. Bu bölümde şu ana kadar tanımlanmış ve incelenmeye başlanmış radikal çeşitlerine yenileri eklenmiş ve halka özellikleri değiştikçe tanımların nasıl genelleştirildiği yönündeki çalışmaların devamında radikallerin kuruluşları birimli, değişmeli ve hatta asosyatif olmayan halkalarda yapılmıştır. Bu bölüm tanımlanmış farklı radikallerin birbirleriyle ilişkilerinin incelenmesiyle son bulmaktadır. Beşinci bölümde klasik radikal, radikal idealler, Baer radikali, Levitzki radikali, Brown-McCoy radikali, F-radikal, G-radikal kavramları ve özellikleri incelenmiştir.

In this thesis construction of radical theories, need for radical theories and starting from commutative rings with identity generalization of radical theories are studied. There are five units in the thesis. In the first unit basic construction and properties of rings are studied. By the second unit notation of radical and its properties are given. In this unit properties of radicals are studied independent of types of radicals so that one can easily recognize the basic procedure to form radicals on different types of rings. Third unit focuses on definitions of Jacobson radical, nilradical, prime radical, J-radical concepts and their properties. In the preceding section the same radicals are examined in the case when the ring is not commutative and does not have identity. Chapter five is the last section of the thesis. In this unit, a few different radicals were added to the ones that have already been examined. The studies on how the definitions are generalized as the types of the rings change are followed by the construction of the radicals which does not have identity, which are not commutative and even not associative. This section results by observing the relations between the different radicals defined above. The concepts of classical radical, radical ideals, Baer radical, Levitzki radical, Brown-McCoy radical, F-radical, G-radical and their properties are studied.