Publication: Haar integrali
Abstract
HAaR İNTEGRALİ Yerel kompakt uzaylar üzerinde bir integral, kompakt destekli fonksiyonların uzayı üzerinde tanımlı pozitif fonksiyoneller yardımıyla tanımlanabilir. Yerel kompakt gruplarda ise bir fonksiyonel yardımıyla tanımlanan integralin invaryant olması beklenir. Bu çalışmanın temel amacı yerel kompakt gruplar üzerinde tanımlı sol invaryant bir integralin varlığını göstermektir. Bölüm I de, invaryant integralin varlık ve teklik probleminin tarihsel gelişimi hakkında bilgi verildi. Bölüm II de, Temel Bilgiler başlığı altında çalışma süresince kullanılan temel kavramların tanımları verildi. Haar integralinin yerel kompakt gruplar üzerinde tanımlandığından bazı soyut uzay tanımları verildi; Metrik uzay, topolojik uzay, kompakt ve yerel kompakt uzaylar, lineer vektör uzayları ve Banach uzayları, iç çarpım uzayı. Yine bu başlık altında çalışmanın en temel teoremlerinden biri olan Urysohn Lemma’sının yerel kompakt uzaylara ilişkin sonucu bir teoremle verildi. Son olarak ölçü kavramı ve cebir, σ- cebir ve Borel cebiri tanımları da yine bu başlık altında verildi. Teorik Yaklaşımlar başlığı altında ilk olarak yerel kompakt uzaylar üzerinde tanımlı bir fonksiyonel ile bir integral arasındaki ilişkiden bahsedildi. Daha sonra yerel kompakt grup üzerinde integral tanımı verildi ve bu integralin varlığını göstermek için kullanılan yöntem tanıtıldı. Bölüm III de, ilk olarak yerel kompakt uzaylar üzerinde tanımlı kompakt destekli sürekli fonksiyonların uzayında tanımlı bir fonksiyonel yardımıyla, uzay üzerinde bir integralin inşası incelendi. Topolojik Gruplar başlığı altında, topolojik grubun tanımı ve bazı özellikleri verildi. Yine bu başlık altında topolojik gruplar üzerinde düzgün sürekli ve sol düzgün sürekli fonksiyon tanımları verildi. Haar İntegrali başlığı altında, tez çalışmasının temel amacı olan, yerel kompakt uzaylar üzerinde invaryant bir integralin varlığı ve tekliği gösterildi. Kompakt destekli sürekli iki fonksiyonun konvolüsyonu, modüler fonksiyon, involüsyon kavramları verildikten sonra konvolüsyon ve involüsyon arasındaki ilişki incelendi. Son olarak, Kompakt Gruplar Üzerinde Fourier Serileri başlığı altında, Haar integralinin bir uygulaması olarak, kompakt gruplar üzerinde Fourier serilerinin katsayılarının nasıl hesaplanacağı gösterildi.
THE HAAR INTEGRAL On a local compact space, an integral can be associated to a functional on Cc(X), the space of functions with compact support. If the local compact space is a local compact group, then one can ask for the existence of an integral which is invariant under left translation. Thus the main aim of this thesis is to show the existence of an invariant integral on local compact groups. In Chapter I, historical development of the problem of the existence and uniqueness of invariant integral are presented. In Chapter II, under the title of General Background, information is given about some abstract spaces; Metric spaces, topological spaces, vector spaces, Banach spaces, pre- Hilbert and Hilbert spaces. In addition, a result from Urysohn’s lemma is obtained for local compact spaces. Finally, some notions on measures are presented. Under the title of Theorical Approach, the relation between a functional on Cc(X) and an integral on X is presented. An integral on local compact groups and the method used to prove the existence of integral are described. In Chapter III, the construction of integral on local compact groups with the aid of functional on Cc(X) is described. Under the title of Topological Groups, a topological group and its characteristics are described. Under the title of the Haar Integral, the existence and uniqueness of invariant integral on local compact groups are shown. The definitions of convolution of two functions, modular function, involution and the relation between convolution and involution are also explained. Finally, under the title of Fourier Series on Compact Groups, as an application of Haar integral, the calculation of Fourier series of a function on a compact group is demonstrated.
THE HAAR INTEGRAL On a local compact space, an integral can be associated to a functional on Cc(X), the space of functions with compact support. If the local compact space is a local compact group, then one can ask for the existence of an integral which is invariant under left translation. Thus the main aim of this thesis is to show the existence of an invariant integral on local compact groups. In Chapter I, historical development of the problem of the existence and uniqueness of invariant integral are presented. In Chapter II, under the title of General Background, information is given about some abstract spaces; Metric spaces, topological spaces, vector spaces, Banach spaces, pre- Hilbert and Hilbert spaces. In addition, a result from Urysohn’s lemma is obtained for local compact spaces. Finally, some notions on measures are presented. Under the title of Theorical Approach, the relation between a functional on Cc(X) and an integral on X is presented. An integral on local compact groups and the method used to prove the existence of integral are described. In Chapter III, the construction of integral on local compact groups with the aid of functional on Cc(X) is described. Under the title of Topological Groups, a topological group and its characteristics are described. Under the title of the Haar Integral, the existence and uniqueness of invariant integral on local compact groups are shown. The definitions of convolution of two functions, modular function, involution and the relation between convolution and involution are also explained. Finally, under the title of Fourier Series on Compact Groups, as an application of Haar integral, the calculation of Fourier series of a function on a compact group is demonstrated.