II. çeşit integral denklemlerin nümerik çözümleri

Abstract

II. ÇEŞİT İNTEGRAL DENKLEMLERİN NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ İntegral denklemler, doğa bilimleri ve mühendislik bilimleri gibi birçok bilim dalında kullanılmaktadır. Geniş bir alanda kullanılması, İntegral denklemleri içeren problemlerin çözümünü önemli hale getirmektedir. Eric Ivar Fredholm (1866-1927) titreşen yüzeyler ve raslamsal süreçleri konu alan çalışmalarında karşılaştığı integral denkleminin çözümü, J. Neumann, Liouville ve Volterra tarafından bazı özel durumlar için bulunmuştur, ancak genel çözümü elde edilememiştir. Bu durum; problemlerin çözümünde nümerik yöntemlerin kullanılmasının önemini artırmıştır. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır: Giriş bölümünde, İntegral denklemlerin tarihçesi ve uygulama alanlarından bahsedilmiştir. Birinci bölümde integral denklemlerinin tanımı, sınıflandırılması ve türleri verilmiştir. İkinci bölümde integral denklemlerinin çekirdek çeşitlerine göre analitik çözümleri ile ardışık yaklaşım yöntemi anlatılmıştır. Üçüncü bölümde, nümerik yöntemlerden; “En Küçük Kareler Yöntemi”, “Ortalama Değer Yöntemi”, “Bernstein Polinomu Yardımıyla Yaklaşık Yöntem”, “Taylor Serisi Kullanarak Yaklaşım Çözüm” yöntemleri anlatılmıştır. Dördüncü bölümde ise yaklaşık çözümler ve analitik çözümlerin karşılaştırılması yapılmıştır. Çalışmanın amacı nümerik yöntemlerin geçerliliğini test etmektedir.Bu amaçla, farklı türde çekirdek fonksiyonları içeren, lineer değişken katsayılı II. çeşit Fredholm integral denklemlerinin, analitik yöntemle ve nümerik yöntemlerle çözümleri yapılmıştır. Bulunan nümerik çözümler, kesin çözümle ayrı ayrı karşılaştırılmış ve sonucunda yöntemlerin etkinliği değerlendirilmiştir.

NUMERICAL SOLUTİON OF FREDHOLM INTEGRAL EQUATIONS OF THE SECOND KIND. Integral equations are used in a lot of disciplines such as engineering sciences and natural sciences. This situation makes the solutions of the problems which include integral equations important. Eric Ivar Fredholm (1866-1927) came up with an integral equation in his physical works which include vibrating surfaces and random processes. And J. Neumann, Liouville and Volterra found some solution to this integral equation, however they could not reach a final solution. This increased the significance of using the numerical methods in problem solving. This work consists of four stages: In introduction stage, the history and application fields of integral equations have been mention. The first part includes the description, classification an the kind of integral equations. In the second part, analytical solutions according to kernal types of integral equations and iterated approach method have been identified. In the third part, of the numeric methods “ The Least Squares method” ,”Mean Value Method”, “Bernstein Polynomials Method”, “Taylor Series Method” have been identifed. In the fourth part, approximate solutions and analytical solutions have been compared. The goal of the study, was to solve the second type Fredholm integral equations with linear variable coefficient which includes different kinds of kernal functions. This was performed by analytical and numerical methods. Obtained numeric solutions were compared with the exact solutions seperately in perdermined intervas and their achievement were evaluated in the end of analyse.