S-asal idealler ve S-asal alt modüller

Abstract

Bu tezde asal alt modüllerin bir genellemesi olarak S-asal alt modüller, burulmasız modüllerin bir genellemesi olarak S-burulmasız modüller kavramları çalışılmıştır. S ⊆ R, değişmeli R halkasının çarpımsal kapalı alt kümesi ve M, birimli bir R-modül olsun. M’nin (P:M) ⋂ S =∅ sağlayan bir P alt modülünü ele alalım. Eğer am ∈ P sağlayan her a∈R ve m ∈ M’ler için sa ∈ (P:M) veya sm ∈ P sağlayan bir s∈S bulunabiliyorsa P’ye S-asal alt modül denir. Bir R-module M alalım ve ann(M) ⋂ S =∅ sağlayan bir çarpımsal kapalı S ⊆ R alt kümesi seçelim. Eğer am=0 sağlayan her a∈R ve m ∈ M’ler için sa=0 veya sm=0 sağlayan bir s∈S varsa P’ye S-burulmasız alt modül denir. S-asal alt modüllerle ilgili çeşitli özelliklerden bahsettikten sonra asal alt modülleri S-asal alt modüller üzerinden karakterize edeceğiz. Ayrıca basit modüller, S-Noetherian modüller, burulmasız modüller gibi bazı özel tanımlı modülleri de yine bu kavramlardan yararlanarak karakterize edeceğiz. Sonraki kısımda çarpımsal modüllerin bir genellemesi olarak S-çarpımsal modüller kavramını tanıtacağız. M, sıfırdan farklı, birimli bir R-modül ve S,R’nin çarpımsal kapalı bir alt kümesi olsun. Eğer M’nin her N alt modülü için sN ⊆IM ⊆ N sağlayan bir I⊴R ve s∈S bulunabiliyorsa M’ye S-çarpımsal modül denir. S-çarpımsal modüllerin bazı özelliklerini paylaştıktan sonra çarpımsal modüllerle ilgili bilinen bazı sonuçları S-çarpımsal modüllere taşıyacağız. Ayrıca S-asal alt modülleri S-çarpımsal modüller üzerinde çalışacağız. Çalışmamızın bir kısmını da çarpımsal modüller için asaldan kaçınma lemmasının S-çarpımsal modüller için inceleyeceğiz. Son olarak da çarpımsal modülleri S-çarpımsal modüller üzerinden karakterize edeceğiz.

In this study, we give the concepts of S-prime submodules and S-torsion free modules which are generalizations of prime submodules and torsion free modules. Suppose S ⊆ R is a multiplicatively closed subset of a commutative ring R and M a unital R-module. A submodule P of M with (P:M) ∩ S =∅ ; is called an S-prime submodule if there is an s∈S such that am ∈ P implies sa ∈ (P:M) or sm ∈ P. Also, an R-module M is called an S-torsion free if ann(M) ∩ S =∅ ; and there exists s∈S such that am = 0 implies sa = 0 or sm = 0 for each a ∈ R and m∈M. In addition to giving many properties of S-prime submodules, we characterize certain prime submodules in terms of S-prime submodules. Furthermore, using these concepts, we characterize some classical modules such as simple modules, S-Noetherian modules and torsion free modules. Afterwards we introduce the concept of S-multiplication modules which are a generalization of multiplication modules. Let M be a nonzero unital R-module and S ⊆ R a multiplicatively closed subset. Then M is said to be an S-multiplication module if for each submodule N of M there exists s∈S such that sN ⊆IM ⊆ N for some ideal I of R. Besides giving many properties of S-multiplication modules, we generalize some results on multiplication modules to S-multiplication modules. Also, we study S-prime submodules in S-multiplication modules. In particular, we generalize the prime avoidance lemma for multiplication modules to S-multiplication modules. Furthermore, we characterize multiplication modules in terms of S-multiplication modules.