Kesirli türevler, kesirli integraller ve uygulamaları

Abstract

Tezin ilk bölümünde, öncelikle çeşitli kesirli türev, kesirli integral ve integral dönüşüm tanımlarına yer verilmiştir. Ardından, kesirli integral ve türevlerin Laplace dönüşümlerinden bahsedilmiş ve Laplace dönüşümünün bazı özelliklerine yer verilmiştir. Ayrıca, kesirli hesabın en önemli uygulamalarından biri olan kesirli diferansiyel denklemler hakkında genel bilgilere ve kesirli diferansiyel denklemlerin cözüm yöntemlerinden biri olan Laplace dönüşüm metoduna yer verilmiştir. Son olarak, kesirli hesap çalışmalarında sıkça ortaya çıkan özel fonksiyonların tanımları verilmiştir.İkinci bölüm, kesirli hesabın çeşitli uygulamalarına ayrılmıştır. Öncelikle Weyl kesirli integral ve türevinin Kratzel fonksiyonu üzerine uygulamalarına yer verilmiştir. Ardından, kesirli hesabın en önemli uygulamalarından biri olarak görülen Abel integral denklemi başta olmak üzere çeşitli kesirli denklemlerden bahsedilmiş ve bu denklemlerin çözümleri verilmiştir. Son olarak, kesirli hesabın uygulamalarında kullanılan çeşitli integral dönüşümleri içeren eşitliklere yer verilmiştir.Tezin üçüncü bölümünde, kesirli hesabın uygulamalarına ilişkin çeşitli bulgulara yer verilmiştir. İlk olarak, kesirli hesabın Kratzel fonksiyonu ve Bessel tipi fonksiyonlar üzerine uygulamaları geliştirilerek yeni eşitliklere ulaşılmıştır. Ardından, çeşitli kesirli diferansiyel denklem ailelerin çözümlerine ulaşmayı sağlayan teoremler verilmiş ve bu teoremler kullanılarak, çeşitli kesirli diferansiyel denklemlerin çözümlerine ulaşılmıştır. Son olarak, genelleştirilmiş Riemann-Liouville ve Weyl kesirli integralleri tanımlanmış ve bu integralleri içeren çeşitli bağıntılara ulaşılmıştır.Tezin son bölümünde, tez çalışması boyunca elde edilen sonuçlar sıralanmış ve tezde elde edilen sonuçların kullanımı hakkında önerilerde bulunulmuştur.

In the first chapter, the definitions of various fractional integrals, fractional derivatives and integral transforms are given. The Laplace transforms of fractional integrals and fractional derivatives are also mentioned. In addition, basic properties of fractional dierential equations are stated. Finally, some special functions that are widely used in fractional calculus are introduced. The second chapter is allocated for applications of fractional calculus. Someidentities concerning Weyl fractional integral and Weyl fractional derivative of the Kratzel function are given. Moreover, solutions of some fractional equations including Abel integral equation which is one of the most prominent applications of fractional calculus are provided. Relations that include integral transformations thatare used in the study of fractional calculus are also given. In the third chapter, some new results on the applications of fractional calculus are stated. Firstly, the applications of fractional calculus on Kratzel function and on Bessel type functions are extended and new relations are introduced. Then theorems regarding the solutions for some families of fractional dierential equations are stated and solutions for some particular equations are given. Moreover, the generalized Riemann-Liouville and Weyl fractional integrals are introduced and some relationsincluding these integrals are proven. In the last chapter, all of the results are listed and some possible applicationsare given.